数学家李冶

李冶（1192年—1279年），原名李冶，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。 金元时期的数学家。 金正大末进士，辟知钧州。 相传李冶原名叫李治，因为朝廷禁止平民和古代帝王同名，而他的名字又和唐高宗的名字相同，于是就减去了一个点，改名叫李冶。

李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。 与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。 作有数学著作《测圆海镜》。
01
李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣。 《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。 ”

父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。 在李冶看来，学问比财富更可贵。 他说：“积财千万，不如薄技在身”，又说：“金璧虽重宝，费用难贮蓄。 学问藏之身，身在即有余。 ”他在青少年时期，对文学、史学、数学、经学都感兴趣，曾与好友元好问外出求学，拜文学家赵秉文、杨云翼为师，不久便名声大振。

1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，正大七年（1230），李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。 同年得高陵（今陕西高陵）主簿官职，但蒙古窝阔台军已攻入陕西，所以没有上任。 接着又被调往阳翟附近的钧州（今河南禹县）任知事，为官清廉、正直。

1232年，钧州城被蒙古军队攻破。 李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难。 这是他一生的重要转折点，将近50年的学术生涯便由此开始了。

李冶北渡后流落于山西的忻县、崞县之间，过着“饥寒不能自存”的生活。 一年以后（1233），汴京（今河南开封）陷落，元好问也弃官出京，到山西避难。 1234年初，金朝终于为蒙古所灭，李冶与元好问都感到政事已无可为，于是潜心学问。 李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于崞山（今山西崞县）的桐川。

金朝的灭亡给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。 他在桐川的究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。 其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著——《测圆海镜》。 他的工作条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。 但他却以著书为乐，从不间断自己的写作。 据《真定府志》记载，李冶“聚书环堵，人所不堪”，但却“处之裕如也”。 他的学生焦养直说他：“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”。 经过多年的艰苦奋斗，李冶的《测圆海镜》终于在1248年完稿。 它是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作。
02
所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的。 在中国，列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。 到唐代，王孝通已经能列出三次方程，但仍是用文字叙述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。 经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题解决了。 随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱。 但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐。 例如李冶在东平（今山东省东平县）得到的讲天元术的算书中，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂，它“以十九字识其上下层，曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。 ”这就是说，以“人”字表示常数，人以上九字表示未知数的各正数次幂（最高为九次），入以下九字表示未知数的各负数次幂（最低也是九次），其运算之繁可见一斑。 从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看，天元术的作用还十分有限。

李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。 当时，北方出了不少算书，除《铃经》外，还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等，这无疑为李冶的数学研究提供了条件。 特别值得一提的是，他在桐川得到了洞渊的一部算书，内有九客之说，专讲勾股容圆问题。 此书对他启发甚大。 为了能全面、深入地研究天元术，李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究。 他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就。

测圆海镜

《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。 卷一的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式），这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。 后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。 李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。 他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。 除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。 但筹式中遇O空位，没有符号O。 从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的，它们成书的时间相差不过一年。 《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。 但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。

《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也有创新。 全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。 李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章（卷）内容大体上平列。 李冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。

《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。 元代王恂、郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。 不久，沙克什用天元术解决水利工程中的问题，收到良好效果。 元代大数学家朱世杰说：“以天元演之、明源活法，省功数倍。 ”清代阮元说：“立天元者，自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。 ”