数学故事之：球体积的前世今生

俗话说“前人栽树后人乘凉”，古人的一些智慧结晶给我们的生活带来了非常多的便捷。 关于球体积的计算，中西方数学家都做出了杰出的贡献，因此，我们现在可以直接用数学公式V=(4/3)πr3轻松地计算出球体的体积。 这个公式虽然简单，却凝结了古今中外多位数学家的心血与汗水。 那么这个公式从何而来呢？

在西方，古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。 阿基米德将他自己对球体积的计算一直引以为豪。 阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式，阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。

虽然西方数学家阿基米德对球体积的计算研究的时间更早，但是在我国南北朝时期，祖冲之父子独立研究出的“祖暅原理”比阿基米德的研究内容要丰富，涉及的问题更复杂。 祖冲之和他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。

《九章算术》中认为，球体的外切圆柱体与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比，刘徽为《九章算术》作注时指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方盖”（垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比。 但刘徽没有求出两圆柱体垂直相交部分的体积公式，所以也就得不出球体积公式。 祖冲之父子应用“等高处横截面积常相等的两个立体，其体积也必然相等”这一原理，求出了“牟合方盖”的体积。 而球体体积等于π／4乘以“牟合方盖”体积，从而最终算出球体积，这个公式就是著名的“祖暅公理”。

由上图，我们可知：（1/2）V球=（2/3）πr3，最终可得，V球=(4/3)πr3。 球体积的公式便由此推导而来。