天元术和四元术是宋代创造的高次方程的数值解法。 天元术是列方程的方法，四元术是高次方程组的解法。

在我国古代，解方程叫做“开方术”。 至宋代，开方术已经发展到历史的新阶段，远远走在当时世界先进水平的前面。

我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来。 其中就有许多方程题。

比如有一首诗问周瑜的年龄：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。

十比个位正小三，个位六倍与寿符。

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

依题意得周瑜的年龄是两位数，而且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为X，则个位数字为（X＋3），由“个位6倍与寿符”可列方程得：6（X＋3）=10X＋（X＋3），解得X=3，所以周瑜的年龄为36岁。

再如有一首诗问寺内多少僧人：

巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

三百六十四只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗菜，四人共吃一碗羹。

请问先生名算者，算来寺内几多僧？

设寺内有僧人X个，3人共食一碗菜，则吃菜用碗X÷3个，四人共吃一碗羹，则喝羹用碗X÷4个，正好用完364个碗，得X÷3＋X÷4=364，解得X=624，所以寺内有624个僧人。

这些古代方程题非常有趣，普及了数学知识，激发了人们的数学思维。

在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。

宋代以前，数学家要列出一个方程，如唐代著名数学家王孝通撰写的《缉古算经》，首次提出三次方程式正根的解法，能解决工程建设中上下宽狭不一的计算问题，是对古代数学理论的卓越贡献，比阿拉伯人早300多年，比欧洲早600多年。

随着宋代数学研究的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是出现了我国数学的又一项杰出创造天元术。

据史籍记载，金元之际已有一批有关天元术的著作，尤其是数学家李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。

李冶在数学专著《测圆海镜》中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。

《益古演段》则是李冶为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。 他还著有《敬斋古今黈》、《敬斋文集》、《壁书丛削》、《泛说》等，前一种今有辑本12卷，后3种已失传。

朱世杰所著《算学启蒙》，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。

朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法，以及他在高阶等差级数求和、高阶内插法等方面的重要成就。

美国科学史家乔治·萨顿在他的名著《科学史导论》中指出：

《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。

除李冶、朱世杰外，元代色目人学者赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。

天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现在代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。 它首先要“立天元一为某某”，相当于“设X为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。 然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。

天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。 而在欧洲，只是至16世纪才做到这一点。

继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，最后又由朱世杰创立了四元术。

自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后，多少世纪没有显著的进步。

在列方程方面，蒋周的演段法为天元术做了准备工作，他已具有寻找等值多项式的思想；洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚；李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段。

在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题。 至此，一元高次方程的建立和求解都已实现。

线性方程组古已有之，所以具备了多元高次方程组产生的条件。 李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰集前人之大成，对二元术、三元术的总结与提高，把“天元术”发展为“四元术”，建立了四元高次方程组理论。

元代杰出数学家朱世杰的《四元玉鉴》举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。 其中有的例题相当复杂，数字惊人的庞大，不但过去从未有过，就是今天也很少见。 可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。

“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。 用四元术解方程组，是将方程组的各项系数摆成一个方阵。

其中常数项右侧仍记一“太”字，4个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右，高次项系数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。

解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换，逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。

从四元术的表示法来看，这种方阵形式不仅运算繁难，而且难以表示含有4个以上未知数的方程组，带有很大的局限性。

我国代数学在四元术时期发展至顶峰，如果要再前进一步，那就需要另辟蹊径，突破新的难关了。 后来，清代的代数学进展是通过汪莱等人对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。