数学的局限性：三个根本性的局限

数学工具并不是完美的，因此，不可能仅仅靠数学去认识世界。

它有三个根本性的局限：

公理化方法所做的只是让这种不能被数学证明的命题数量减少到最低的程度，这就是公理体系。 前面说过，公理是无法通过数学方法确定其正确性的。

这个定理的证明很难从直观上理解，但结论却是很清晰明了的。 公理体系有一致性、完备性和独立性三个要求。

1.一致性。 也叫不矛盾性。 它是指公理体系内所有命题相互之间在逻辑上是一致的，不能相互矛盾。 我们可以把这个要求称为数学的“第一原则”。

2.完备性。 是指公理体系内的所有定理都可以通过公理推导出来。

3.独立性。 是指公理之间相互独立，一个公理不能由另一个公理推导出来。

“哥德尔不完备性定理”证明了：公理体系的一致性和完备性之间有可能是不能同时获得满足的。 也就是说，如果要求一致性，它就不可能完备。 而如果要求完备，它内部就必然出现不一致。 由于一致性是数学最核心的原则要求，因此，如果两者不能同时获得满足，人们只能舍弃完备性而保留一致性。

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1930年证明并发表的两条定理。 哥德尔定理是一阶逻辑的定理，故最终只能在这个框架内理解。 简单地说，第一条定理指出：任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。

把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了他的第二条定理。 该定理指出，任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性。 哥德尔定理并不是说所有公理系统都是不完备的，而是指符合其前提条件的公理是不完备的。

这是传统公理体系方法存在的另一个重大的缺陷，对此只是有一些零星的研究，像证明公理的独立性时，可用到跨公理体系的方法。

如，设A是一个公理体系，M是A里的一个公理，M'是M的否命题， A是A去掉M后的公理集合。 如果M'+A形成的公理集合被证明也是一个一致的公理体系，则可以证明M与A里其他公理之间是相互独立的。

以上有关跨公理体系问题最经典的案例是19世纪末为解决欧氏几何第五公理而出现的非欧几何学，包括罗巴切夫斯基几何学和黎曼几何学等。

欧氏几何第五公理是指过直线外一点可以做一条平行线。

罗巴切夫斯基几何学对第五公理做出不同的假设：过直线外一点可以做无穷条平行线。

黎曼几何学则假设过直线外一点不能做任何一条平行线。

以上对第五公理做出互相矛盾的假设，却都可以建立各自满足一致性的公理体系。 它们成为欧氏几何第五公理独立性的证明。

不过，从根本上说，跨公理体系问题，已经突破了古希腊文明的理解，但今天的西方文明也没有对此给出系统的解释。 这是科学未来发展可以产生另一场重大进步的突破点所在。