位于“天府之国”四川的东部的安岳县属于四川盆地丘陵地区。 连绵不断的小山丘与平地，绿茵茵的稻田、麦地和郁郁葱葱的林木，把安岳装扮得色彩缤纷、艳丽迷人。 1208年，秦九韶就出生在这个山清水秀的地方。

秦九韶的父亲名叫秦季槱（yǒu），字宏父，秦季槱在宋光宗绍熙四年（1193年）与陈亮（1143—1194）、程璐（1164—1242）一起参加科举考试，成为同榜进士。 后任巴州（今四川巴中）太守。 嘉定十二年（1219年）三月，兴元（今陕西汉中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州（今广元）、阆州（今阆中）、果州（今南充）、遂宁（今遂宁）、普州（今安岳）等地。 在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安（今杭州）。

这一年，秦九韶十八岁。 秦九韶生性敏慧，勤奋好学，随父亲入京都后，京都的繁华与文化气息让他开阔了视野，增长了见识，他处处留心，好学不倦。 秦季槱回朝廷相继做了工部郎中和秘书少监，工部郎中掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，这给秦九韶提供了良好的学习环境。 秦九韶充利用父亲掌管天下城郭、宫室、舟车、器械、符印、钱币、山泽、苑囿、河渠之政、营造工程、皇家古今经籍图书、国史实录、天文历数之事等有利条件和机会，集中精力，向太史局的吴泽、靳大声、杨忠辅、刘孝荣等有学识的太史、官吏、学者学习，并有机会阅读了大量的典籍，使之成为博学多能的青年学者。 此外，他还拜访了天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况。

秦季槱出生在书香门第，同事赋诗赞誉他“岷蜀儒英，蓬瀛人物”，自然学养深厚。 三位同庚（同生于淳熙五年，即1178年）、同年登进士甲科的挚友许奕、魏了翁、真德秀，敢于直面朝廷腐败，不仅敢于抨击史弥远、贾似道等奸臣，是主战抗击外来入侵的忠臣，而且个个学识渊博，同属儒雅之士。 秦季槱比许奕、真德秀、魏了翁早六年入士及第，论年龄为长。 他们四人同时立朝，政治倾向相同，都为忠臣良相，有着特殊的关系，还是秦九韶的长者，秦季槱恭请挚友做秦九韶的老师，督促秦九韶虚心向他们学习渊博精深的知识，三位长者对秦九韶的关心、呵护自然是不言而喻。

魏了翁官至学士，是南宋著名学者，文章、功业彪炳当世，且与秦九韶少年时的天赋、性格都极其相似，魏了翁自然是喜欢和器重秦九韶，愿意做他的良师益友。 聪慧好学的秦九韶，不仅潜心向真德秀、魏了翁、许奕学习诗词、天文、祭祀、历法等知识，还十分崇敬他们的刚直不阿的道德情操。

叶适是南宋著名的思想家、文学家、政论家。 他重视实践，崇尚唯物主义观点，在哲学最根本的问题上，明确地认为客观世界是物质的统一体，他肯定人的知识来源于客观世界，并认为只有详细考察周围的客观事物才能获得正确的认识。 同时，他的散文写得也非常好，自成一家。 秦九韶虚心向叶适学习文学、哲学、政论。 尤其是叶适提倡对实际进行考察的思想对秦九韶起到了极大的影响。

杨简，历任秘书郎，为人博学多才、廉俭自持，晚年曾设馆讲学，秦九韶还虚心向杨简学习诗词、历法和哲学思想。 尤其是对杨简提出的“心即是道，宇宙的变化即人心的变化过程，以明心为修养之本”等哲学思想体悟很深。

李刘是宋代有名的文人，位居中书舍人。 他才高学博，以写骈体文著名。 他治事果断，措施得当，幕僚无不叹服。 秦九韶拜李刘为师，学习骈俪、诗词、游戏、毬马、弓箭，后来李刘与秦九韶成为好朋友，经常来往。

吴潜，安徽宁国（今属宣州）人。 宋宁宗嘉定十年（1217年）考中进士第一名，曾两度为相。 他学识渊博，任职繁多，忠正睿智，忧国忧民，政绩卓然，是南宋著名的政治家、军事家、词坛领军人物。 吴潜早年和弟弟丧母，受到父亲和继母的良好教育，有较深厚的学养底蕴，奠定了状元及第和两度入相的基础。 吴潜深知秦九韶自幼性极技巧，聪明好学，求知若渴，虽说秦九韶只比吴潜小十二岁，属于吴潜的晚辈之列，但吴潜很愿意做秦九韶的老师。 淳佑三年六月，吴潜回湖州丁母忧，秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切。

秦九韶的数学启蒙教师是“隐君子”陈元靓。 绍定三年之前，陈元靓已经有“隐君子”之称，他看的书极多，尤其是新书，对数学很有研究，到过文化发达的城市，居处距临安不远，去临安不是很困难。 秦九韶慕名前来拜师，得到陈元靓的赏识并收留下做弟子。 陈元靓是道学家，对秦九韶的思想产生了重大的影响。 秦九韶认为“数与道非二本”的“道”就是通过“隐君子”陈元靓学来的。

应该说，秦九韶随父亲在临安期间的数年间，已经把全部精力用在了学习上。 正是通过这一阶段的学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知”。

1225年，秦九韶随父亲至四川潼川，担任过一段时间的县尉。 四川有着丰富的石料，普遍用于石拱桥、石坝、石堰、房屋等建造。 最早可以追朔到前256年，秦蜀郡太守李冰父子主持修建了举世闻名的都江堰和成都市的“七星桥”（实指成都市的七座桥）。 但对于运用数学设计建造石拱桥、石坝、石堰的史记，就只有秦九韶的“计造石坝”和“计浚河渠”。

宋理宗绍定二年（1229年），成都府路、潼川府路大旱，尤其潼川府路十年九旱的深丘与山区结合地带，当年大旱后，潼川府组织农民大修石坝、石堰，秦九韶在郪县积极运用数学帮助、指导农民建造黑桃坝等石坝、石堰。

宋理宗绍定四年（1231年）六月，郪 （ｑī）江沿岸暴雨成灾，河水泛滥，庄稼被淹没，田土被冲毁，边界不清，引发了许多民间纠纷。 一天，秦九韶在郪江镇外的核桃坝，遇见两位农夫争吵激烈，相互推搡，正要打起来，秦九韶上前劝阻。 原来，姓郭和姓柳的农夫是因重新划定被洪水冲毁的田土边界互不认同而发生争执。

秦九韶细心地倾听他们各自诉说洪灾前田块的形状、大小，他们都说各自的田原来像三角形，姓柳的农夫还说他的田比姓郭的要大点，姓郭的农夫又说他的田也小不了多少。 秦九韶细心地观察了两人被洪水夷为平地的田块，接着走进被冲毁的田块里步量，很快步出了残大、小斜、元中斜等数据，然后对两个农夫说：你们不要再争执了，我过两天来帮助你们划定边界。 两位农夫把秦九韶打量了一番，见他如此热心和诚恳，也就同意了。

没过几天，秦九韶去到郭姓和柳姓发生争执的田块，没用多大工夫，就给他们划分和重新确定了边界，郭姓和柳姓农夫看了以后，对秦九韶帮他们划分出的边界比较认可，也就按照秦九韶确定的边界定了界桩。 两位农夫十分感激，问起秦九韶的尊姓大名，秦九韶就说：“我比你们小一点，你们就叫我兄弟吧！”姓柳的农夫对这位和蔼可亲的“兄弟”很有好感，就尾随秦九韶其后，谁知秦九韶却进了县衙，他就走过去问门卒：“刚才进县衙的是何人？”门卒感到有些蹊跷，就把他带进县衙审问。 姓柳的农夫告诉门卒：“刚才进县衙的人，帮我们划分了被洪水冲毁的边界，我们非常感激，问他的尊姓大名，他不愿意告诉我们。 ”门卒听了姓柳农夫的话，就告诉他：“那是秦县尉。 ”

姓柳的农夫知道是秦县尉帮他们划分边界，逢人便说，没多久，秦九韶帮助农民划分边界的事情就在郪县传开了，好些农民纷纷去找秦九韶，要他帮助他们划分和解决被洪水冲毁田地的边界，秦九韶就热心地教他们一些简单、易学、适用的计算田地面积的方法，让大家自己解决了边界划分中的问题。 后来，乡里、县里的人们十分敬佩这位有才华的朝廷年轻官员。 从此，秦县尉巧断农夫边界案的事便在郪县传为佳话。

二十多年之后，郪县县学的一位老先生见到了秦九韶《数书九章》的“漂田推积”题解，他说秦县尉巧断农夫边界案故事中，姓柳和姓郭两位农夫被水毁的两块三角形田，实际上就是两块三斜田合在一块，而被同时冲去一隅，变成四不等直田之状的“漂田推积”题型，当年秦九韶就是按照残大、小斜、元中斜等各种数据，算出了他们田地的面积，划出了两位农夫较为认可的边界。

中国历来以农立国，雨雪多少直接影响到农作物的丰欠，南宋朝廷也规定测定雨雪量是当时各州县的重要任务，但当时流行的测算雨量、雪量的方法是错误的，因而出现“积以器移”的怪现象，量雨器、量雪器发挥不了应有的作用。 南宋宝庆至绍定年间，秦九韶在郪县当义兵首、县尉，潼川府、郪县地处深丘与山区，民间百姓更是需要正确观测气象，测量雨雪，同时，秦九韶还参加了高稼提出以沔州为主战场的“蜀以三关为门户，五州为藩篱”反击元兵边面保卫战，山区气象变幻莫测，屯兵戍边，行军打仗，需要正确观测气象，测量雨雪，秦九韶作为县尉，自然运用数学去研究计算降雨量和降雪量的正确方法，提供给农民和军队。

宋理宗端平年间，秦九韶受李刘荐去临安从事校正秘阁图书的工作，离开四川之后的地方，很少有雨雪同时兼行，因此，后来《数书九章》中的“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”、“竹器验雪”计题，应该是秦九韶在军旅生涯和郪县社会实践中的数学研究结晶。 尤其是秦九韶“其‘天池测雨’问中的天池盆开创了世界文化史上现存最早记录，比西欧（1639年）要早近四百年”。 淳佑十年（1250年），宋理宗下诏在南宋州郡使用“天池盆”、“圆罂”、“竹蘿”等雨量器、雪量器观测和计算雨雪量，应该是秦九韶的《数书九章》成书稿献于朝廷受到了宋理宗推崇和肯定。