朱世杰是元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。 有“中世纪世界最伟大的数学家”、“贯穿古今的一位最杰出的数学家”之誉。 与秦九韶、杨辉、李冶并称为“宋元数学四大家”。

朱世杰的著作《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。 《四元玉鉴》则是我国宋元时期数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”、“垛积法”与“招差术”。

朱世杰的青少年时代，大约相当于蒙古灭金之后。 元统一全国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多。 他到广陵时，史载“踵门而学者云集”。

就当时的数学发展情况而论，在河北南部和山西南部地区，出现了一个以“天元术”为代表的数学研究中心。

当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元、三元术的重要时期，朱世杰较好地继承了当时北方数学的主要成就，把“天元术”这一成就拓展为四元术。

朱世杰除继承和发展了北方的数学成就之外，还吸收了当时南方的数学成就，比如各种日用、商用数学和口诀、歌诀等。

朱世杰在经过长期游学、讲学之后，全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术及通俗歌诀等，在此基础上进行了创造性地研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，又写成四元术的代表作《四元玉鉴》，先后于1299年和1303年刊印。

《算学启蒙》全书共3卷，20门，总计259个问题和相应的解答。 这部书从乘除运算起，一直讲至当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。

卷上共分为8门，收有数学问题113个。 其内容为：乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题如计算利息、税收等。

其中“库司解税门”第七问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，同门第十、第十一两问中均载有“两务税”等，都是当时实际施行的税制。

朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等，可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际。 因此，书中提到的物价包括地价、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的。

卷中共7门，71问。 内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等。

卷下共5门，75问。 内容包括各种分数计算、垛和问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等。

其中的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，称为“四元消法”。 这种方法在世界上长期处于领先地位，直至18世纪，法国数学家贝祖提出一般的高次方程组解法，才与朱世杰一争高下。

《算学启蒙》体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。 这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。

《四元玉鉴》全书共3卷，24门，288问。 书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关。

比如，四元的问题有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。 可见，多元高次方程组的解法即 “四元术”是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就。

《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。 在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。 这是他在“垛积术”、“招差术”等方面的研究和成果。

这些成果是我国宋元数学高峰的又一个标志。 其中讨论了多达四元的高次联立方程组解法，联系在一起的多项式的表达和运算以及消去法，已接近近世代数学，处于世界领先地位，比西方早400年。

《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价。

美国科学史家萨顿称赞说道：

是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一。

美国著名的科学史家萨顿评论说：

朱世杰是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。

如此之高的评价，朱世杰和他的著作都是当之无愧的。

朱世杰不仅是一名杰出的数学家，他还是一位数学教育家，曾周游四方各地，教授生徒20余年。 并亲自编著数学入门书《算学启蒙》。

在《算学启蒙》卷下中，朱世杰提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。

朱世杰处于我国传统数学发展的鼎盛时期，当时社会上“尊崇算学，科目渐兴”，数学著作广为传播。

总之，朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期我国数学的最高峰。