【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.

一、选择题(每小题6分，共42分)

1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的( )

a.充分不必要条件 b.必要非充分条件

c.充要条件 d.既不充分也不必要条件

【答案】b

【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列;若a,b,c成等比，则 ，即b2=ac.

2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于( )

a.120 b.240 c.320 d.480

【答案】c

【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列(公比为q2).

∴a5+a6= =320.

3.数列{an}的前n项和sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为( )

a.0 b.1 c.-1 d.2

【答案】c

【解析】∵an=

要使{an}成等比，则3+a=2•31-1=2•30=2,即a=-1.

4.设f(x)是定义在r上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈r,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈n_),则数列{an}前n项和sn的取值范围是( )

a.[ ，2) b.[ ，2]

c.[ ，1) d.[ ，1]

【答案】c

【解析】因f(n+1)=f(1)•f(n),则an+1=a1•an= an，

∴数列{an}是以 为首项，公比为 的等比数列.

∴an=( )n.

sn= =1-( )n.

∵n∈n_,∴ ≤sn<1.

5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则 的值是( )

a. b.

c. d. 或

【答案】b

【解析】∵a3=a2+a1,

∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).

∴ .

6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40•a50•a60的值为( )

a.32 b.64 c.±64 d.256

【答案】b

【解析】因a1•a99=16,故a502=16,a50=4,a40•a50•a60=a503=64.

7.如果p是一个等比数列的前n项之积，s是这个等比数列的前n项之和，s′是这个等比数列前n项的倒数和，用s、s′和n表示p，那么p等于( )

a.(s•s′ b.

c.( )n d.

【答案】b

【解析】设等比数列的首项为a1,公比q(q≠1)

则p=a1•a2•…•an=a1n• ,

s=a1+a2+…+an= ,

s′= +…+ ,

∴ =(a12qn-1 =a1n =p,

当q=1时和成立.

二、填空题(每小题5分，共15分)

8.在等比数列中，s5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.

【答案】384

【解析】易知q≠1，由s5= =93及 =186.

知a1=3,q=2,故a8=a1•q7=3×27=384.

9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= sn(n≥1),则an=

【答案】( )•( )n-2

【解析】∵an+1= sn,

∴an= sn-1(n≥2).

①-②得,an+1-an= an,

∴ (n≥2).

∵a2= s1= ×1= ,

∴当n≥2时，an= •( )n-2.

10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.

①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列 ③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列 ④若{an}的前n项和sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列 ⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列

【答案】②④

【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列;

④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.

三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)

11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,

(1)求证数列{bn}也是等比数列;

(2)已知q>1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和sn大于数列{bn}的前n项和sn′.

(1)证明：∵ =q,

∴ 为常数，则{bn}是等比数列.

(2)【解析】sn=a1+a2+…+an

= ,

sn′=b1+b2+…+bn

= ,

当sn>sn′时，

.

又q>1,则q-1>0,qn-1>0,

∴ ,即qn>q7,

∴n>7,即n>7(n∈n_)时，sn>sn′.

12.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此数列是首项为1，公比为 的等比数列.

(1)求数列{an}的通项;

(2)求数列{an}的前n项和sn.

【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

= [1-( )n].

(2)sn=a1+a2+a3+…+an

= - [ +( )2+…+( )n]

= - [1-( )n]

= ×( )n.

13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.

(1)求数列{cn}的前n项和sn.

(2)是否存在n∈n_,使得 成立?请说明理由.

【解析】(1)由已知得

∴an=a1qn-1=2n.

∴cn=11-log2a2n=11-log222n

=11-2n.

sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.

(2)假设存在n∈n_,使得 即 .

∴22n+3×2n-3<0,解得 .

∵ =1,而2n≥2,

故不存在n∈n_满足 .

14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.

(1)设an=|xn- |,证明：an+1

(2)设(1)中的数列{an}的前n项和为sn，证明：sn< .

证明：(1)an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .

∵xn>0,

∴an+1<( -1)|xn- |<|xn- |=an,

故an+1

(2)由(1)的证明过程可知

an+1<( -1)|xn- |

<( -1)2|xn-1- |

<…<( -1)n|x1- |=( -1)n+1

∴sn=a1+a2+…+an<|x1- |+( -1)2+…+( -1)n

=( -1)+( -1)2+…+( -1)n

= [1-( -1)n]< .

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“教育消费占首位”值得警惕

最近，中国社会科学院发布的《2010年社会蓝皮书》显示，子女教育费用在居民总消费中排第一位，超过养老和住房.中国社科院社会学研究所研究员李培林在报告中认为“这并不是很正常的”.

我国现有的人均gdp只有1 000美元，仍处于发展中国家的经济水平.在此情况下，教育费用占民民总消费第一位的状况，必然会挤占居民养老、住房、医疗等方面的费用开支.也就是说，教育费用居高不下，将直接影响到社会居民的医疗、养老等生命质量与日常生活水平的起码问题.由于我国现有老年人口已达总人口的10%(有的城市已超过此比例)，且还有上升趋势，如果现在仍对教育费用居高不下的状况无动于衷，那么可以预见，在不久的将来，社会必将对养老、医疗等社会问题付出巨大代价.还有，从我国人口文化素质与社会的发展要求看，现有的教育水平不是高了，而是还需要在大发展.如果按现有的教育水准收，势必意味着我国必须为教育付出更多费用.

所以笔者觉得，教育费用占居民总消费第一位的社会现象，不仅对每个家庭，对教育自身的健康发展，同时对社会以后的健康发展，同时对社会以后的正常发展，都是一个亟待重视与解决的社会公共命题.