代数拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱（H.Poincaré，1854—1912），正如墙壁用砖砌成，他将几何图形分割成有限个相互连接的小图形。 他定义了所谓的高维流形、同胚和同调，后来的数学家又发展了同调论和同伦论，并把拓扑问题转化为抽象代数问题。 这个领域最早的一个著名定理是由笛卡尔（1635）提出后又被欧拉（1752）发现的，即任何没有洞的多面体的顶点数加上面数再减去棱数等于2。 还有一个“庞加莱猜想”（1904），即任意一个三维的单连通闭流形必与一个三维球面同胚。 曾有人悬赏100万美元以求证明这个猜想。

1854年，即黎曼拓展非欧几何学的那一年，庞加莱出生在法国东北部城市南锡的一个显赫家族。 庞加莱有着超常的智力，却不幸在5岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能流畅地用话语表达自己的思想。 但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞，他读书的速度也十分惊人，能准确持久地记住读过的内容，还擅长文学、历史、地理、自然史等。 他对数学的兴趣产生得比较晚，大约是在15岁，不过很快就显露出非凡的才华。 19岁那年，庞加莱进入巴黎综合理工学院。

庞加莱从未在一个研究领域做过久的逗留，一位同行戏称他是“征服者，而不是殖民者”。 从某种意义上讲，整个数学领域都是庞加莱的“殖民地”（数学领域以外的贡献也难以计数），但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。 庞加莱猜想的证明及其推广，即四维和四维以上空间的情形使得三位数学家前后各相隔20年分别获得菲尔兹奖（1966、1986、2006），这在数学史上被传为佳话。 殊为难得的是，庞加莱还是天才的数学普及者，其平装本的通俗读物被译成多种文字，在不同的国度和阶层得到广泛传播，就如同后来的理论物理学家、《时间简史》的作者史蒂芬·霍金（Stephen Hawking，1942—）那样。

不同的是，庞加莱还是一位哲学家，他的著作《科学与假设》《科学的价值》《科学与方法》均产生了巨大影响。 他是唯心主义哲学的约定论的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，并避开任何矛盾。 同时，他反对无穷集合的概念，反对把自然数归结为集合论，认为数学最基本的直观概念是自然数，这又使他成为直觉主义的先驱者之一。 庞加莱相信艺术家和科学家之间在创造力方面的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才能体现出价值”。

四维空间是非欧几何学的一种特殊形式，当人们仍在辩论非欧几何学以及违反欧几里得第五公设的哲学后果时，庞加莱是这样引导我们想象四维世界的，“外在物体的形象被描绘在视网膜上，视网膜上的是一幅二维图，而物体的形象是一幅透视图……”按照他的解释，既然二维面上的形象是从三维面来的投影，那么三维面上的形象可以看作从四维面来的投影。 庞加莱建议，可以将第四维描述成画布上接连出现的不同透视图。 依照西班牙画家毕加索的视觉天赋，他认为不同的透视图应该在时间的同时性里展示出来，于是就有了《阿维尼翁的少女》（1907）——立体主义的开山之作。

值得一提的是，在《科学与假设》（1902）的众多读者里，有一位叫普兰斯的巴黎保险精算师，在立体主义诞生前夕，他是西班牙画家毕加索的“洗衣舫”艺术家圈子的成员。 据说在一段时间里，他的情人和毕加索的情人是同一个。 正是在普兰斯的推介下，新几何学成了“充满热情地探索着的”新艺术语言。 毕加索的好友、立体主义的阐释者阿波利奈尔总结道，“第四维不是一个数学概念，而是一个隐喻，它包含着新美术的种子。 ”在他看来，“立体主义用一个无限的宇宙取代了一个以人为中心的有限宇宙。 ”他还指出，“几何图形是绘画必不可少的，几何学对于造型艺术就如同语法对于写作那样重要。 ”或许我们可以这样认为，立体主义是文艺复兴以来，绘画和几何又一次美妙的邂逅。