在G.康托尔的眼里，集合是一些对象的总体，不管它们是有限的还是无限的。 当运用“一一对应”的方法去研究集合时，他得出了惊人的结果：有理数是可数的，即能与自然数一一对应。 他的证明非常有趣，每行以大小次序排列，所有的正有理数均在其中，其中分母为i的在第i行，G.康托尔列出的排列顺序如上图所示。 与此同时，他证明了全体实数是不可数的。

不仅如此，G.康托尔还给出了超越数存在性的非构造性证明。 事实上，G.康托尔证明了代数数和有理数一样也是可数的，又证明了实数是不可数的。 这样一来，由于代数数和超越数的全体构成了实数，超越数不仅存在而且数量比代数数要多得多。 对超越数的研究后来成为20世纪数论研究的一道风景。 可是，由于G.康托尔认定无限是真实存在的，他受到同行长期的反对和攻击，尤其是柏林大学的犹太教授克罗内克（L.Kronecker，1823—1891），后者不仅是一位杰出的数学家和成功的商人，在科学论战方面也是最有力的斗士。 而G.康托尔却软弱无能，虽然真理在他那边，以至于他毕生都在一所三流大学做教授。

G.康托尔为集合论引进了基数的理论，称全体整数的基数为阿列夫零，称后面较大的基数为阿列夫1、阿列夫2，等等（阿列夫是希伯来字母，G.康托尔是犹太人）。 也就是说，他对无穷做了分类。 他还证明，全体实数集合的基数大于阿列夫零。 这就引出了所谓的“康托尔连续统假设”：在阿列夫零与全体实数的基数之间不存在任何别的基数。 20世纪初，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上发表著名的题为“数学问题”演讲时，把这个假设或猜想排在留给20世纪的23个数学问题的第一位（超越数问题排在第7位）。

当G.康托尔发现“数学的肌体”得了重病，古希腊的芝诺传染给它的疾病还没有得到诊治时，他便不由自主地想医治它。 可是，他对无穷问题所做的普罗米修斯式的进攻却导致他自己精神崩溃，那时他才40岁。 很久以后，他死于德国中部的一家精神病院。 在希尔伯特发表演讲的第二年，罗素也谈了他的看法：

芝诺关心过三个问题：无穷小、无穷和连续。 每一代最优秀的智者都尝试过解决这些问题，但是确切地说，他们什么也没得到……魏尔斯特拉斯、戴德金和G.康托尔彻底解决了它们，他们的解答清楚得不再留下丝毫怀疑，这可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就……无穷小的问题是由魏尔斯特拉斯解决的，其他两个问题的解决是从戴德金开始，最后由G.康托尔完成的。

公理化的方法早在古希腊时代就被欧几里得发现了，并在其名著《几何原本》中加以应用。 众所周知，《几何原本》共建立了5个公设和5个公理。 可是，欧几里得构筑的公理体系并不完善。 德国数学家希尔伯特重新定义了现代的公理化方法，他指出，“不论这些对象是点、线、面，还是桌子、椅子、啤酒杯，它们都可以成为这样的几何对象，对于它们而言，公理所表述的关系都成立。 ”