20世纪末，美国《时代周刊》杂志评选出过去100年里最具影响力的100个人物，其中科技和学术精英占了1/5。 在这20个人中，哲学家和数学家各有一位，前者是维特根斯坦，后者是我们接下来要介绍的哥德尔。 他们两人的共同点是，都横跨数学和哲学两大领域，都是奥地利人，都用非母语的英文写作。 不同的是，一个移居英国后死于剑桥大学，另一个移居美国后死于普林斯顿大学。 当然，他们去世时都不是奥地利公民。

1906年，哥德尔出生在摩拉维亚的布吕恩城，今天这座城市的名字叫布尔诺，属于捷克共和国。 在历史上布尔诺曾几易其主，19世纪的奥地利遗传学家孟德尔（G.J.Mendel，1822—1884）就是在此城的一座修道院里发现了遗传学的基本原理，后来它又成为捷克作曲家亚纳切克（L.Janacek，1854—1928）终生居住的地方。 说起摩拉维亚，在这个中欧著名的地理区域出生的还有精神分析学家弗洛伊德（S.Freud，1856—1939），以及有着“现象学之父”美誉的哲学家胡塞尔（E.Husserl，1859—1938），后者曾在维也纳大学数学系获得变分法方向的博士学位。 哥德尔在故乡长大，直到考入维也纳大学攻读理论物理，此前他对数学和哲学产生了浓厚的兴趣，并自学了高等数学。

从大学三年级开始，哥德尔的第一爱好转向了数学，他大学时期的借书卡表明他看了许多数论方面的书。 同时，在数学老师的介绍下，他参加了著名的“维也纳小组”的某些活动。 这是一个由哲学家、数学家、科学家组成的学术团体，主要探讨的语言和方法论，在20世纪哲学史上占有重要的地位，也被称为“维也纳学派”。 在这个学派的宣言书《科学的世界观：维也纳学派》所附名单中，23岁的哥德尔成为14个成员中最年轻的一个。 1930年，他以《逻辑谓词演算公理的完全性》获得哲学博士学位，随后建立了震惊世界的哥德尔第一和第二不完备性定理。

1931年1月，维也纳的《数学物理学月刊》发表了一篇题为“论《数学原理》及有关系统的形式之不可判定命题”的论文。 几年以后，它就被视为数学史上具有重大意义的里程碑，作者是不到25岁的哥德尔。 这篇论文的结果首先是否定性的，既推翻了数学的所有领域都能被公理化的信念和努力，又摧毁了希尔伯特设想的证明数学的内部相容性的全部希望。 同时，这种否定最终促成了数学基础的划时代变革，既分清了数学中的“真”与“可证”的概念，又把分析的技巧引入数学基础。

哥德尔第一不完备性定理：对于包含自然数系的形式体系F，如果是相容的，则F中一定存在一个不可判定命题S，使得S与S之否定在F中皆不可证。

也就是说，自然数系的任何公设集如果是相容的，就是不完备的。 由此得出结论：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有些问题从形式系统的公理出发不能解答。 更有甚者，几年以后，美国数学家丘奇（A.Church，1903—1995）证明了，“对于包含自然数系的任何相容的形式体系，不存在有效的方法，判定该体系的哪些命题在其中是可证的”。 在第一不完备性定理的基础上，哥德尔进一步提出第二不完备性定理。

哥德尔第二不完备性定理：对于包含自然数系的形式系统F，如果是相容的，则F的相容性不能在F中被证明。

也就是说，在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾性的）这一论断。 这就使得希尔伯特的希望破灭了。 现在看来，经典数学的内部相容性不可证，除非我们采用那些复杂的推理原则，但这些原则的内部相容性与经典数学的内部相容性一样值得怀疑。

哥德尔的这两条不完备性定理表明，没有哪一部分数学能做到完全的公理推演，也没有哪一部分数学能保证其内部不存在矛盾。 这些都是公理化方法的局限性，一方面，它们说明数学证明的程序无法确实不与形式公理的程序相符；另一方面，它们也旁证了人的智慧不能被完全的公式化所替代。 对于形式系统来说，“可证”是可以机械地实现的，“真”则需要进一步的思想能动性。 换句话说，可证的命题必然是真的，但真的命题却未必是可证的。

哥德尔不完备性定理如今已成为数学史上最重要的定理，但它的证明专业性太强，我们在这里就不做介绍了。 值得一提的是，证明中提出的“递归函数”的概念是哥德尔的一位朋友来信建议的，这个朋友三个月后意外死亡。 哥德尔不完备性定理出名以后，递归函数也随之誉满天下。 递归函数后来成为算法理论的起点，还引导图灵提出了理想计算机的概念，为电子计算机最初的研制提供了理论基础。 与此同时，有关悖论与数学基础的论证也渐趋平静，数学家们把更多的精力放在数理逻辑研究上，大大推动了这门学科的发展。