19世纪几何学和代数学的变革，给20世纪的数学带来飞速的发展和空前的繁荣。 现代数学不再只是几何、代数和分析这几门传统学科，而成为分支众多、结构庞杂的知识体系，并仍在不断地发展和变化。 数学的特点不只是严密的逻辑性，更添加了另外两条，即高度的抽象性和广泛的应用性，并因此形成了现代数学研究的两个大的范围，即纯粹数学和应用数学。 其中后者的一部分发展出计算机科学，撇开它的重要性，仅从为人类所提供的就业岗位来说，它就超过了所有其他数学分支的总和。

纯粹数学最初主要受两个因素推动，即集合论的渗透和公理化方法的应用。 集合论本来是由G.康托尔于19世纪后期创立的，曾遭到包括克罗内克等在内的许多数学家的反对，后来因其在数学中的作用越来越明显才获得承认。 集合最初是建立在数集或点集之上，不久它的定义范围得以扩大，可以是任何元素的集合，如函数的集合、几何图形的集合等。 这就使得集合论作为一种普遍的语言进入数学的不同领域，引起了数学中积分、函数、空间等基本概念的深刻变化，同时刺激了本章将要谈到的数理逻辑中直觉主义与形式主义的进一步发展。

G.康托尔本是圣彼得堡出生的丹麦人，其犹太父母年轻时在俄国经商，生意做到了德国汉堡、英国伦敦乃至美国纽约。 他与凯莱一样，可谓在外从商者子女成才的楷模，只不过G.康托尔家在他祖父母那一代就来到了圣彼得堡。 11岁那年，G.康托尔随父母迁居德国，在那里度过了一生的绝大部分时光。 他在荷兰阿姆斯特丹上了中学，后来又到瑞士苏黎世和德国的几所大学求学，逐渐喜欢上数学并决定以此为职业，尽管他在绘画方面表现出的才能曾使全家为之骄傲。